〈導讀〉

數學列車1089號啟程

                                                   洪萬生

 

一、前言

       

一本數學普及小品竟然運用一個「等式」充當書名,而且,其中還有一個十分特別的數目1089!事實上,本書是作者David Acheson1089啟程的一趟數學列車之旅。

1089為何有趣?原來它相當魔幻!任選一個三位數,譬如說752好了。將它的百位數與個位數對調,得257,再將這兩個三位數相減(大減小),得752-257=495。現在,再將495的百位數與個位數對調,得594。最後,將495594相加:495+594=1089。這是一個對於數學再怎麼無感的人都會好奇的問題,緊接著,或許我們就可以討論它的所以然之故了。

一般而言,應用數學家書寫科普或進行數學通識教學,大都喜歡強調數學知識的有用面向(utility)。本書作者David Acheson是一位應用數學家,目前是英國牛津大學耶穌學院終身會士(Emeritus Fellow),為什麼他將這個挑起讀者好奇心的數目1089當作本書的引子呢?原來他在十歲時――十歲果然重要,安德魯懷爾斯(Andrew Wiles)也是在十歲時,邂逅費馬最後定理――Acheson從一本兒童普及刊物I-SPY Annual1956年)讀到魔術師如何運用這個魔幻數目。也因此忽忽四十年過去了,他總是念茲在茲第一流數學定理或結果所真正製造的驚奇(wonder)!

 

二、內容簡介

 

這本小書總共有16章,目錄依序如下:

 

1  1089 and All That

2  ‘In Love with Geometry’

3 But…that’s Absurd…

4  The Trouble with Algebra

5 The Heavens in Motion

6  All Change!

7  On Being as Small as Possible

8  ‘Are We Nearly There?’

9  A Brief History of

10 Good Vibrations

11 Great Mistakes

12 What is the Secret of All Life?

13 e=2.718…

14 Chaos and Catastrophe

15 Not Quite the Indian Rope Trick

16 Real or Imaginary?

 

現在,我們依序簡介各章內容。在第1章中,作者從1089的驚奇(wonder)說起,希望帶領讀者(不管多大多小)搭上數學快車,一同欣賞數學中的令人驚奇定理(wonderful theorems)、美麗證明(beautiful proofs)以及偉大應用(great applications)。

2章一開始的插曲,則是英國17世紀唯物機械論哲學家霍布斯(Thomas Hobbes, 1588-1679)學習歐幾里得《幾何原本》的插曲。霍布士四十歲那一年才初識《幾何原本》所呈現的數學知識之確定性,他的切入點是畢氏定理的證明――《幾何原本》第一冊第47命題。在研讀此一證明時,他發現他必須逆溯第一冊第1到第46的某些命題。這種確定性(certainty)讓他「愛上幾何」(in love with geometry),終生不渝!除了畢氏定理之外,本章也討論圓面積公式,特別是圓周率 及其展開式――萊布尼茲級數:

 

/4=1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+…

 

類似這種令人驚奇的連結(connections),譬如 與奇數的關係,在數學中處處可見。還有,作者還提及叫人討喜的拓樸學圖形,以及最重要的,舉例說明證明在數學中是如何重要,尤其是我們將某些延拓(generalization)視為理所當然時:由於

 

圓周上2點之連線可將此圓分為2個區域;

圓周上3點之連線可將此圓分為4個區域;

圓周上4點之連線可將此圓分為8個區域;

圓周上5點之連線可將此圓分為16個區域;

 

依此類推(analogy),「圓周上6點之連線」當然「可將此圓分為32個區域」了!然而,此一猜測卻是大錯特錯,[1]因此,證明就變得不可或缺了。

在第3章一開始,作者引述柯南道爾的《綠玉冠探案》(The Adventure of the Beryl Coronet)結語,讓福爾摩斯說明歸謬法的重要性。作者的第一個例子,是歐拉(Euler)的克尼斯堡七橋問題。第二是有關質數是無窮多的證明。第三則是費馬最後定理。針對最後這個例子,作者說明n=3的情況差一點成立:

 

7293+2443=401,947,273

     7383=401,947,272

 

        4章主題是(中學)代數。作者的引子有19世紀早期法國小說家斯湯達爾Stendhal,以及1953年英國一個童話故事主角思渥斯Molesworth的認知困擾。[2]針對後者,作者認為運用代數方法證明1089何以魔幻,應該足以說明代數如何有用了。此外,作者還引進座標概念,說明代數更是有助於解決幾何問題。

        5章主題是天體運動,作者首先引述美國媒體有關哈雷彗星在1910年接近地球軌道時,社會大眾如何恐慌的新聞。然後,進一步說明克卜勒與牛頓的傑出貢獻。其中,作者當然頗多仰賴於當時的數學文本,譬如牛頓的經典《原理》(Principia)。

        6章主題是變化率(rate of change),並藉以引出微積分。不過,它的重點擺在微分法上。至於第7章則是運用微分法來處理自然界中的極值問題。在一般人所熟悉的問題之外,作者也提及最小曲面與最速降線等問題及其求解。此外,他還介紹路線網路問題(road network problem):如何運用路線網路連結不同的城鎮,使得路線越短越好。對於四個城鎮來說,最短的路線網路長度恰好等於 。至於此一路徑如何取得,則可以運用肥皂泡膜來試驗。輔以實驗,這是本書作者闡揚數學真理的一個重要進路。

        8章主題是無窮級數(收斂與發散),並且利用它來定義曲線邊界的平面區域之面積,以及像 這樣的無理數。為何 是無理數呢?顯然,這就需要證明了。除了這個歸謬證明(reductio ad absurdum)之外,作者也引進了數學歸納法。

        在第9章中,作者介紹了圓周率 的簡史。這個題材一向為科普書寫所歡迎。作者先定義 ,然後,由於該定義與圓面積無涉,因此,吾人必須證明何以圓面積= r2。作者所提供的證法,是將圓面積近似為

 

(1/2) × (圓內接正n邊形的周長) × (等腰三角形的高)

 

其中這個等腰三角形是由圓內接正n邊形分解而成,直觀而自然,值得肯定。當然由於本章主題是 的簡史,所以,作者緊接著概述了 的近似值發展史,其中作者尤其指出萊布尼茲級數與歐拉級數之意義,另外,他還介紹18世紀法國數學家卜豐(Buffon)如何從機率來看

        10章主題是樂音、弦振與正餘弦函數之關係。這是主要訴求實用的一章,作者也提及他自己玩爵士吉他的經驗。到了第11章,作者又拉回數學有趣的面向。現在,他的主題是「驟下結論」(jump to conclusion)難以避免的風險。他所舉出的第一個例子有瑪菲堤問題Malfatti's problem,亦即:給定一個三角形內,作出3個不重疊的圓形,使得它們所占的面積最大。這是1803瑪菲堤所提出並宣稱解決的問題,但是,直到1967年,才被古柏格Michael Goldberg指出其誤謬,並提供正確解答。數學家的這種「大膽假設」,歐拉絕不缺席。作者提及他在證明費馬最後定理在n=3為真之後,即猜測三個四次方的和等於一個四次方,四個五次方之和等於一個五次方等等,也都是不可能。沒想到到了1966年,蘭德Lander和帕金Parkin提出反例:275+845+1105+1335=1445。對於歐拉的賢者之失,數學社群不管是18世紀或21世紀,一點都不介意,真是令人羨慕。有關驟下結論之例子,作者還提出無窮級數求和問題,以及1917年由日本數學家掛谷所提出的所謂掛谷問題Kakeya problem

        12章主題是微分方程。作者以18世紀的力學、19世紀的電磁學、20世紀的量子力學,以及21世紀的生物學為例,說明微分方程及其求解的核心位置。作者在本章一開始所運用的引子,是他在中學時代,生物老師所出的數年如一日的考題中的第23題:所有生命的祕密是什麼?現在,有了微分方程,這個問題就有了最好的切入點了。

        13章主題是歐拉數e=2.718…。作者介紹此一主題的引子是複利的計算。此一計算當然與下列極限式有關:(1+1/n)ne。與 一樣,這個歐拉數在很多領域中一直現身,不過,最著名的例子,莫過於變化率永遠等於自身的數量問題,這些都是自然界中所謂的指數成長(exponential growth)問題。作者指出這個e不僅規範了疾病的傳染擴散,針對不穩定(instability)系統,譬如一滴奶掉下一碗奶表面時所造成的擾動現象,我們也可以找到e的蹤跡。最後,作者在本章中,也給出了e的無窮級數展開式:e=1+1+1/2+1/(2×3)+1/(2×3×4)+…

        14章主題是應用數學領域中最夯的「混沌與劇變」,作者應用簡單的實驗(含皂膜實驗,以及網頁上的計算機模擬animation),提供了相當簡要的說明。第15章主題也是應用數學,作者在此介紹了他自己的研究成果,那是與多支點(pivot)的多重擺(multiple pendulum)運動有關,歷史上可以追溯到1738年的丹尼爾伯努利(Daniel Bernoulli)。

16章主題是「實或虛」。作者在本章也是本書的最後結語,是說明何以歐拉公式 備受數學家寵愛。為此,虛數如何進入歷史舞台(譬如,由解三次方程式而非二次進入),以及歐拉如何在他的微積分教科書中,將虛數與正餘弦函數的冪級數展開式等等連結,而得出同樣精彩的歐拉等式: 。現在,這列數學快車已經抵達終點站了。作者為了呼應他在上車前的叮嚀(參見第1章),亦即:讓我們一同欣賞數學中的令人驚奇的定理、美麗的證明,以及偉大應用,於是,他引述歐拉在1748年如何證明上述等式,展演了數學知識的這三個本質面向。

 

三、評論

 

本書作者專長是應用數學,也是一位爵士吉他樂迷,本書第10章內容,應該是他應邀為數學團體如The Mathematical Association演講的現身說法。[3]如果我們徵之於他從18世紀的研究成果中,找到多重擺的相關問題之事實,即可發現他非常熟稔數學史,尤其是微分方程的歷史發展。這種博雅的興趣,讓他廣泛涉獵數學史,也因而豐富了本書的敘事。

事實上,他在適當脈絡插入數學史實,不僅用以潤滑數學知識的鋪陳,也有助於開啟新的單元或話題。譬如,作為第4章的結語,他讓笛卡兒現身說法,以便引出第5章有關圓錐曲線(或二次曲線)如何在天體運動的說明上,發揮令人意想不到的效果。至於第5章有關克卜勒與牛頓的行星運動之定律,則當然最好讓17世紀的當事人自行解說了。還有,他讓邦貝利(R. Bombelli)而非卡丹諾(G. Cardano)來「引進」虛數,足見他對相關史實,擁有了相當體貼細緻的素養。

這種在歷史脈絡中介紹數學,並不只是敘說與人有關的故事而已。譬如,作者雖然指出 的萊布尼茲級數展開式之重要性,然而,他也未曾忘記強調如果吾人按此級數來計算 的近似值到3.14――兩千多年前阿基米德即已達到的近似值,那麼,所需要計算的項數就遠遠地超過三百個。這種時刻不忘「實用」的進路,的確凸顯了數學知識的價值與意義。

最後,本書所涵蓋數學內容主要是分析學為主,再加上一點點必要是微分方程。這顯然是作者基於他自己的應用數學背景所做的選擇。由於分析學或微分方程對於一般讀者有相當程度的隔閡或陌生,因此,作者的選材與呈現就顯得十分要緊。整體來看,作者在處理這些題材時,筆觸極輕,但又不失實質內容,尤其,他更是將他自己有關多重擺的最前沿研究結果,深入淺出地介紹給讀者。由此可見,他的普及書寫具有相當的功力。

另一方面,就敘事來說,本書作者在每章開始,總是設法挑起讀者的閱讀動機。這種策略像極了數學教師上課時所運用的「引起動機」。此外,他也相當善用比喻,譬如,他將數學歸納法之證明步驟比喻為連著一節節車廂的火車,於是,第一節啟動後,可以拉動第二節,第二節啟動後,可以拉動第三節等等。顯然,此一敘事頗為形象與生動,也可以說明歸納假設(inductive hypothesis)之意義。不過,此一說法忽略了數學歸納法所證明的命題都涉及的無窮概念。

        有關本書之訂正也請注意如下:頁57有關安德魯懷爾斯之成功證明費馬最後定理之正確年分,應該是1994年而非1993事實上,懷爾斯在19936月返回劍橋發表研究成果時,他的證明中有一個當時無法彌補的重大邏輯瑕疵,一直到1994年,他才成功地彌補了此一漏洞。至於正式的論文,則是發表在1995年的《數學年鑑》(Annals of Mathematics)上。再有,懷爾斯也因為此一傑出貢獻,而榮獲1998年國際數學家聯盟所頒贈的特別獎。那是因為當時他已年過四十歲,按慣例無法獲得費爾茲獎(Fields Medal)了。

 

本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授暨本書合譯者



[1] 在本書中,作者提供了正確答案31,至於通式則是

[2] 此一主角出自威廉斯Geoffrey Williams與塞爾Ronald Searle合著的Down with Skool!

[3] 這個英國數學教育協會的美國版本是The Mathematical Association of America (MAA),他們的積極活動參與者包括了數學家、數學教授、數學教育家與中學教師。






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掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π:從1089開始的16段不思議數學之旅

掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π(1089)_立體書  

出版時間︰2013.2.6
作者︰大衛•艾契森David Acheson
定價︰260


1089大驚奇,讓數學家也瘋狂的神奇數學!
一位愛玩爵士吉他的數學家擔任我們的導遊,福爾摩斯抽絲剝繭,笛卡兒現身說法
有趣的謎題 + 世界知名漫畫家的插畫 = 一本最容易閱讀、最具想像力的數學書


臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生老師 專文導讀•合譯

當代的經典……一部啟發智慧的小品傑作。――美國數學協會
可能是史上最棒的一本數學書。――《神奇酷數學》作者查坦‧波斯基
一本可愛的小書。――《費馬最後定理》作者賽門‧辛
誰會喜歡這本書?絕對是任何人都會喜歡!――權威數學網路雜誌Plus Magazine
所有數學家也都應該多買幾本……我真的無比熱愛這本書。――《數學可以救羅馬?!》作者伊恩‧史都華



【本書的驚奇】

任選一個三位數。
只要這個三位數的百位數與個位數至少相差2,如782。
將它的百位數與個位數對調,得287;
再將大的三位數減小的三位數,得782
287 = 495
接著,再將495的百位數與個位數對調,得594。
最後,將495與594相加:495 + 594 = 1089。


試著選個數,奇妙的事即將發生!


【本書的導覽】

廚房裡的玉米罐頭為什麼是那種形狀,但湯罐頭卻不是?湯和π有什麼關係,湯和圓又有什麼關聯?
․要彈好吉他,就得學好正弦曲線!音樂基本上只是振動的偽裝,難怪很多數學家也是傑出的音樂家!
․為什麼美洲豹的斑點會長這樣?解答動物表皮斑紋由來之謎,關鍵就在微分方程!
․有一個小水滴往下掉落至一碗牛奶中並濺起水花,從這碗牛奶中,我們尋覓到e = 2.718...的蹤跡……

一個簡單的開場,一個魔幻的數目,
從1089開啟的16段數學之旅,帶領我們深入數學的精妙所創造的真正驚奇!

在旅程中,透過克卜勒和牛頓,解釋微積分的真正意義、熟悉π的歷史,
甚至讓我們認識了混沌理論和虛數。

每一段旅程歷時簡短,卻又精心安排,幫助我們在旅途中不致迷了路。
到了旅程的終點,驚奇的定理、美麗的證明、偉大的應用將展現眼前。


大衛•艾契森(David Acheson)◎著 洪萬生、洪碧芳、黃俊瑋◎譯




【對本書的讚譽】

「當代的經典……一部啟發智慧的小品傑作。」
――美國數學協會(Mathematical Association of America)

「深具啟發性。」
――尼爾‧弗格森(Niall Ferguson),歷史學家、《文明》(Civilization)作者

「我十歲女兒在我的指引下讀了這本書,她非常喜歡。即使是數學家,也會在讀完這本好玩有趣又富於創意的書之後,對於舊有的數學議題產生出新的觀點。」
――約翰‧麥頓(John Mighton),《數學情報》(The Mathematical Intelligencer)

「可能是史上最棒的一本數學書。」
――查坦‧波斯基(Kjartan Poskitt),《神奇酷數學》(Murderous Maths)作者

「一本可愛的小書,眾多數學珍品的一趟迷你之旅。」
――賽門‧辛(Simon Singh),《費馬最後定理》(Fermat's Last Theorem)作者

「每一頁都可讀到絕妙的見解……任何對數學感到困惑的人,都應該買這本書來看。所有數學家也都應該多買幾本,送給他們在派對上遇見的朋友。我真的無比熱愛這本書。」
――伊恩‧史都華(Ian Stewart),《數學可以救羅馬?!》(How to Cut a Cake)作者

「輕鬆好玩。」
――《數學文摘》(Mathematical Digest)

「表面上看來,這又是另一本告訴你關於數字的趣味的書。但事實上,這本書不僅於此。它以簡短的篇幅,深入且廣泛地談論各項數學議題,並將這些議題串連在一起,不作任何假設……真的非常具有啟發性,一本適合週末閱讀的好書。」
――《數學教學》(Mathematics Teaching)

「趣味橫生。」
――《今日數學》(Mathematics Today)

「誰會喜歡這本書?絕對是任何人都會喜歡。這本書寫得極好,內容吸引人,閱讀起來輕鬆愉快,絕對是一本値得珍藏的小書。」
――權威數學網路雜誌Plus Magazine

「這本書閱讀起來輕鬆有趣(我家那些非數學背景出身的人也同意這一點)……很少有數學家在撰寫大眾化作品時可以不流於表面,同時又不會給人高高在上的感覺。這本書讓大衛•艾契森成了最出色的數學科普書作者。」
――《泰晤士高等教育增刊》(Times Higher Education Supplement)

「讀完這本書,讀者必定會對數學感到驚奇……之前有篇書評曾建議每個人『多買幾本』,我打從心底完全同意這一點,希望所有身處教學困境的學校老師(以及大學講師!)都能採取行動。」
――《英國非線性新聞》(UK Nonlinear News)





【作者簡介】

大衛•艾契森David Acheson
英國應用數學家,牛津大學耶穌學院(Jesus College, Oxford)終身會士。
著有《基礎流體動力學》(Elementary Fluid Dynamics)、《從微積分到混沌》(From Calculus to Chaos)等書。 




【譯者介紹】

洪萬生

美國紐約市立大學(CUNY)博士,主修數學史、科學史,輔修數學哲學、科學哲學。曾任職臺灣師範大學數學系,講授數學(社會)史、數學哲學與HPM(數學史與數學教育之關連)專題,並主持「台灣數學博物館」(http://science.math.ntnu.edu.tw/museum)網站,透過網路結合科普同好,分享國內外數學普及活動的學術與教育資源,對於推廣數學普及讀物的書寫、出版及閱讀不遺餘力。

洪碧芳
美國愛荷華大學(U of Iowa)博士,主修數學。現任職於僑光科技大學,教授微積分、統計等數學相關科目,希望在推廣數學普及讀物上能盡一份心力。

黃俊瑋
國立臺灣師範大學數學系博士候選人,主修數學史。譯有《數學偵探物語》,並與洪萬生教授等人合著《摺摺稱奇:初登大雅之堂的摺紙數學》。 





【目錄】

〈導讀〉數學列車1089號啟程  洪萬生

1 1089 以及所有其他
2 「愛上了幾何」
3 但……那是荒謬的……
4 代數好麻煩
5 天體運行
6 一切都在改變!
7 關於越小越好這回事
8 「我們快到了嗎?」
9 π的一頁簡史
10 優美的振動
11 偉大的錯誤
12 所有生命的祕密是什麼?
13 e = 2.718...
14 混沌與劇變
15 不全然是印度通天繩
16 實或虛?

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