◎數學的符號

 

 現代數學有一個面向,甚至對那些漫不經心的觀察者來說都是明顯的,那就是抽象符號的使用:代數的表徵式子,看起來複雜的公式和幾何圖形。數學家對抽象符號的依賴,是對他們所研究模式之抽象本質的一種反射。

 

現實世界的不同面向,需要不同形式的描述。舉例來說,研究地面的鋪設,或向某人說明如何在陌生的城鎮中找路的最適當方式為畫地圖,文字說明就沒有那麼適合。類似地,畫上加上注解的線(藍圖)則是用來呈現建築物構造的最適當方式。而音符記號則是用來將音樂表現在紙上的最適當方式。對某些抽象、形式化的模式與抽象的結構而言,最適當的描述和分析方式就是數學,以及使用數學符號、概念和程序。

舉例來說,加法的交換律能夠這樣描寫:

當兩個數相加時,它們的順序並不重要。

 

然而,它總是被寫成符號的形式: 

 

m + n = n + m

 

儘管在這樣一個簡單的例子中,符號的表示形式沒有顯著的優勢,然而,大多數數學模式是那麼的抽象與複雜,當使用其他不是符號化的記號時,那將會繁瑣得令人望而卻步。因此,數學的發展牽涉到對抽象符號穩定增加的使用。

 

雖然現代形式的符號化數學之引入,一般都歸功於16世紀的法國數學家韋達(Françoise Viète),然而,代數的記號似乎最早出現在丟番圖(Diophantus)的作品中。他生活在大約西元250年左右的亞歷山卓城,他這本十三卷的書籍《數論》(Arithmetica,現僅存六卷)通常被視為是第一本代數教科書。特別的是,丟番圖使用一種特殊的符號來表示方程式中的未知數,以及未知數的次方,同時,他也用符號來表示減法以及相等。

 

這些日子以來,數學書籍傾向於充斥著符號,但是數學符號不代表數學,就像樂譜不代表音樂一樣。一頁的樂譜表徵了音樂的一個片段;當這些紙上的音符藉由唱出或某種樂器演奏出來時,這才是你所獲得的音樂本身。音樂要在它的表演中才會活躍起來,然後成為我們經驗的一部分。音樂不存在於印刷的頁面上,而是存在於我們的心靈之中。數學也是如此。在頁面上的符號僅是數學的表徵而已,當一個勝任的表演者(在此例子中,就是某個在數學中受過訓練的人)來解讀時,這些在印刷頁面上的符號才會活躍起來――數學在讀者的心靈中生活與呼吸,就像是某種抽象的交響曲一樣。

 

再重複一次,使用抽象符號的理由,是因為那些藉由數學來幫助我們辨別與研究的模式之抽象本質使然。譬如,數學對於我們去了解這個宇宙上看不見的模式而言是必要的。在1623年,伽利略寫道:

自然這本偉大之書只能被那些了解它所用來書寫之語言的人解讀。這個語言就是數學。

 

事實上,唯有透過數學這個鏡片,物理學才能被正確地作為一個領域來描述。

 

再舉一個例子,作為應用數學去制訂與理解物理定律的結果,現在我們迎來了空中旅行。當一架噴射飛機在頭頂上空飛行的時候,你並沒有看到有任何東西撐住它。只有透過數學,我們才能「看見」將它支撐在高空之中的隱形力量。在此例子中,這些力量由牛頓於17世紀所確定,他也發展出研究它們所需的數學,雖然當科技發展到我們真正能用到牛頓的數學(藉由這段時間額外發展的數學而增進不少)來建造飛機時,已經過了好幾個世紀了。這只是我最喜愛的模因meme中的眾多說明例之一,用來描述數學到底是什麼:數學讓看不見的得以被看見

 


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2018.11 這個問題,你用數學方式想過嗎?_立體書封  

 
出版時間︰2018.10.30

作者︰齊斯‧德福林Keith Devlin
定 價︰30
0元

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空白頁上寫著「此頁留白」,那一頁到底是不是空白的?
所有的鳥類都會飛,所有的美洲豹都有斑紋……請證明給我看!
有些大象不喜歡鬆餅……每個人都愛著某個人……
(大象會爬樹) ⇒ ( 3是無理數)
(歐幾里得的生日是7月4日) ⇒ (長方形有四個邊)
(凱撒死了) ⇒ (π > 3)
若蘋果紅了,則它可以吃了
看起來理所當然的事,真的如此確定無誤嗎?

 

▍為什麼要用數學來思考? 

數學不是只有+-×÷、函數、微積分,但是,用數學來思考可以幫我們做什麼?
►讓我們有能力來提出明確的關鍵性問題
►讓我們以數學的嚴謹來識別和描述問題
►讓我們用數學的精確來分析和解答問題

 

▍誰需要學習數學思考? 

讓思考從混亂、令人沮喪、有時看起來不可能,到具有決定性的解析思維能力!
►希望提升分析思考技巧和擁有創新思維的人
►高中生、大學生,打算主修數學比重高的科目的學生
►無法藉由尋找樣板來依循、無法找公式來代換數值或套程序來應用的人

 

▍為什麼要用這本書來學數學思考? 

完全用不到數學步驟的數學思維入門課,大師親授一流的思考法則!
►史丹佛大學教授最熱門的開放式數學課菁華集結
►超過50,000人搶讀的線上開放學習平台Coursera課程同名專書
►像學習騎腳踏車一樣的數學思維訓練,剛開始總是跌倒,成功卻非遙不可及

 

▍先理解問題的意義,再依序解決問題 

數學家說,在他還沒有證明,或是尚未看到具有說服力的證明之前,他都無法肯定一個直覺看來正確的數學命題為真。
「做數學」常涉及套用步驟和進行繁複的符號運算;「數學思維」則是一種思考事物的明確方法,且思考對象不限於數學。
如果你無法藉由尋找一個樣板來依循、一個公式來代換數值進去,或者一個程序來應用,那麼,你該怎麼辦?
答案是:思考這個問題!

 

本書作者齊斯‧德福林是史丹佛大學著名數學家、暢銷科普作家,致力於對大眾教授和傳播數學。他在知名線上開放課程平台Coursera所開辦的「數學思維入門」課程,吸引了全球超過50,000人爭相註冊,本書即是針對協助培養「以數學方式思考」的能力所寫的專書。

 

本書的目標是協助發展數學思維的方法,而不是學習記誦一堆千篇一律的規則,窒礙了你的思考!
無論是希望提升分析思考技巧的讀者,或者剛由高中進入大學而打算主修數學比重很高科目的學生,都能從書中學習到如何研究一個新問題,換個方式思考直覺看來正確的事物。
讓看不見的得以被看見,讓不可解的問題得以被解決,讓我們學習像數學家一樣思考!


  作者:齊斯‧德福林Keith Devlin  
史丹佛大學數學家及該校人文科學與先端科技研究中心(H-STAR)共同創辦人和執行長,也是該校Media X研究計畫創立人之一,以及該校語言資訊研究中心(CSLI)資深研究員,世界經濟論壇院士及美國科學促進協會(American Association for the Advancement of Science)會士。
現階段研究重點是運用各種媒材,向各類型的聽眾教授和傳播數學,同時致力於設計情報分析的資訊及推論系統。研究興趣還包括訊息理論、推理模式、數學技巧在傳播研究上的應用,以及數學認知等。2003年,以「在數學領域以及數學與邏輯學、語言學間關係的創新研究和長期耕耘」,獲得加州眾議院表揚。主持美國國家公共廣播電台《數學小子》(Math Guy)節目。著有《數學的語言》(The Language of Mathematics)等書。

相關著作:《這個問題,你用數學方式想過嗎?:史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課,大師教你像數學家一樣思考,讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力》

 

  譯者  
譯者:洪萬生
美國紐約市立大學(CUNY)博士,主修數學史、科學史,輔修數學哲學、科學哲學。曾任職臺灣師範大學數學系,講授數學(社會)史、數學哲學與HPM(數學史與數學教育之關連)專題,並主持「台灣數學博物館」(http://science.math.ntnu.edu.tw/museum)網站,透過網路結合科普同好,分享國內外數學普及活動的學術與教育資源,對於推廣數學普及讀物的書寫、出版及閱讀不遺餘力。

譯者:黃俊瑋
國立臺灣師範大學數學系博士候選人,主修數學史。譯有《數學偵探物語》、《掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π》等書,並與洪萬生教授等人合著《摺摺稱奇:初登大雅之堂的摺紙數學》。期望透過數學普及閱讀與數學教育之結合,以更加豐富、多元而開放的面向,增進學生的數學思維與數學素養。

譯者:蘇惠玉
高雄人,國立臺灣師範大學數學系碩士,現任台北市立西松高中數學教師,並擔任《HPM通訊》主編。

譯者:陳彥宏
國立臺灣師範大學數學系碩士,現任台北市成功高中數學教師。

譯者:葉吉海
國立臺灣師範大學數學系碩士,現任桃園國立陽明高中數學科教師,喜歡在課堂上將數學有趣的面向與教材結合,讓學生更喜愛高中數學。


  目錄  

導讀 洪萬生
序言

導論:本書之為用

1. 數學是什麼?
1.1 遠超過算術
1.2 數學的符號
1.3 現代大學程度的數學
1.4 為什麼你必須學習這些東西?

2 將語言精確化
2.1 數學述句
2.2 邏輯連詞:且、或以及非
2.3 蘊涵
2.4 量詞

3 證明
3.1 何謂證明?
3.2 反證法
3.3 證明條件句
3.4 證明量化命題
3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
4.1 整數
4.2 實數
4.3 完備性
4.4 數列

附錄:集合論

索引



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