臉譜出版部落格

◎數學的符號

 現代數學有一個面向，甚至對那些漫不經心的觀察者來說都是明顯的，那就是抽象符號的使用：代數的表徵式子，看起來複雜的公式和幾何圖形。數學家對抽象符號的依賴，是對他們所研究模式之抽象本質的一種反射。

現實世界的不同面向，需要不同形式的描述。舉例來說，研究地面的鋪設，或向某人說明如何在陌生的城鎮中找路的最適當方式為畫地圖，文字說明就沒有那麼適合。類似地，畫上加上注解的線（藍圖）則是用來呈現建築物構造的最適當方式。而音符記號則是用來將音樂表現在紙上的最適當方式。對某些抽象、形式化的模式與抽象的結構而言，最適當的描述和分析方式就是數學，以及使用數學符號、概念和程序。

舉例來說，加法的交換律能夠這樣描寫：

當兩個數相加時，它們的順序並不重要。

然而，它總是被寫成符號的形式： 

m + n = n + m

儘管在這樣一個簡單的例子中，符號的表示形式沒有顯著的優勢，然而，大多數數學模式是那麼的抽象與複雜，當使用其他不是符號化的記號時，那將會繁瑣得令人望而卻步。因此，數學的發展牽涉到對抽象符號穩定增加的使用。

雖然現代形式的符號化數學之引入，一般都歸功於16世紀的法國數學家韋達（Françoise Viète），然而，代數的記號似乎最早出現在丟番圖（Diophantus）的作品中。他生活在大約西元250年左右的亞歷山卓城，他這本十三卷的書籍《數論》（Arithmetica，現僅存六卷）通常被視為是第一本代數教科書。特別的是，丟番圖使用一種特殊的符號來表示方程式中的未知數，以及未知數的次方，同時，他也用符號來表示減法以及相等。

這些日子以來，數學書籍傾向於充斥著符號，但是數學符號不代表數學，就像樂譜不代表音樂一樣。一頁的樂譜表徵了音樂的一個片段；當這些紙上的音符藉由唱出或某種樂器演奏出來時，這才是你所獲得的音樂本身。音樂要在它的表演中才會活躍起來，然後成為我們經驗的一部分。音樂不存在於印刷的頁面上，而是存在於我們的心靈之中。數學也是如此。在頁面上的符號僅是數學的表徵而已，當一個勝任的表演者（在此例子中，就是某個在數學中受過訓練的人）來解讀時，這些在印刷頁面上的符號才會活躍起來――數學在讀者的心靈中生活與呼吸，就像是某種抽象的交響曲一樣。

再重複一次，使用抽象符號的理由，是因為那些藉由數學來幫助我們辨別與研究的模式之抽象本質使然。譬如，數學對於我們去了解這個宇宙上看不見的模式而言是必要的。在1623年，伽利略寫道：

自然這本偉大之書只能被那些了解它所用來書寫之語言的人解讀。這個語言就是數學。

事實上，唯有透過數學這個鏡片，物理學才能被正確地作為一個領域來描述。

再舉一個例子，作為應用數學去制訂與理解物理定律的結果，現在我們迎來了空中旅行。當一架噴射飛機在頭頂上空飛行的時候，你並沒有看到有任何東西撐住它。只有透過數學，我們才能「看見」將它支撐在高空之中的隱形力量。在此例子中，這些力量由牛頓於17世紀所確定，他也發展出研究它們所需的數學，雖然當科技發展到我們真正能用到牛頓的數學（藉由這段時間額外發展的數學而增進不少）來建造飛機時，已經過了好幾個世紀了。這只是我最喜愛的模因（meme）中的眾多說明例之一，用來描述數學到底是什麼：數學讓看不見的得以被看見。

 


《這個問題，你用數學方式想過嗎？》史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課，大師教你像數學家一樣思考，讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力 

 

 出版時間︰2018.10.30

作者︰齊斯‧德福林Keith Devlin
定 價︰300元

★★數學思維是一種必備知識，也是一種核心技能★★ 

――――超過50,000人都在學，最容易上手的數學思維學習書――――
了解事物的本質，正確運用邏輯思考，循序漸進解決問題 

★畢達哥拉斯獎、卡爾•沙根科普獎得主，《數學的語言》作者又一力作
★百萬人爭讀、比臉書和推特用戶成長更快――超夯線上教育平台Coursera廣受歡迎的公開課
★臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專文導讀•合譯 

空白頁上寫著「此頁留白」，那一頁到底是不是空白的？
所有的鳥類都會飛，所有的美洲豹都有斑紋……請證明給我看！
有些大象不喜歡鬆餅……每個人都愛著某個人……
(大象會爬樹) ⇒ ( 3是無理數)
(歐幾里得的生日是7月4日) ⇒ (長方形有四個邊)
(凱撒死了) ⇒ (π > 3)
若蘋果紅了，則它可以吃了
看起來理所當然的事，真的如此確定無誤嗎？

▍為什麼要用數學來思考？ 

數學不是只有＋－×÷、函數、微積分，但是，用數學來思考可以幫我們做什麼？
►讓我們有能力來提出明確的關鍵性問題
►讓我們以數學的嚴謹來識別和描述問題
►讓我們用數學的精確來分析和解答問題

▍誰需要學習數學思考？ 

讓思考從混亂、令人沮喪、有時看起來不可能，到具有決定性的解析思維能力！
►希望提升分析思考技巧和擁有創新思維的人
►高中生、大學生，打算主修數學比重高的科目的學生
►無法藉由尋找樣板來依循、無法找公式來代換數值或套程序來應用的人

▍為什麼要用這本書來學數學思考？ 

完全用不到數學步驟的數學思維入門課，大師親授一流的思考法則！
►史丹佛大學教授最熱門的開放式數學課菁華集結
►超過50,000人搶讀的線上開放學習平台Coursera課程同名專書
►像學習騎腳踏車一樣的數學思維訓練，剛開始總是跌倒，成功卻非遙不可及

▍先理解問題的意義，再依序解決問題 

數學家說，在他還沒有證明，或是尚未看到具有說服力的證明之前，他都無法肯定一個直覺看來正確的數學命題為真。
「做數學」常涉及套用步驟和進行繁複的符號運算；「數學思維」則是一種思考事物的明確方法，且思考對象不限於數學。
如果你無法藉由尋找一個樣板來依循、一個公式來代換數值進去，或者一個程序來應用，那麼，你該怎麼辦？
答案是：思考這個問題！

本書作者齊斯‧德福林是史丹佛大學著名數學家、暢銷科普作家，致力於對大眾教授和傳播數學。他在知名線上開放課程平台Coursera所開辦的「數學思維入門」課程，吸引了全球超過50,000人爭相註冊，本書即是針對協助培養「以數學方式思考」的能力所寫的專書。

本書的目標是協助發展數學思維的方法，而不是學習記誦一堆千篇一律的規則，窒礙了你的思考！
無論是希望提升分析思考技巧的讀者，或者剛由高中進入大學而打算主修數學比重很高科目的學生，都能從書中學習到如何研究一個新問題，換個方式思考直覺看來正確的事物。
讓看不見的得以被看見，讓不可解的問題得以被解決，讓我們學習像數學家一樣思考！

  作者：齊斯‧德福林Keith Devlin  
史丹佛大學數學家及該校人文科學與先端科技研究中心（H-STAR）共同創辦人和執行長，也是該校Media X研究計畫創立人之一，以及該校語言資訊研究中心（CSLI）資深研究員，世界經濟論壇院士及美國科學促進協會（American Association for the Advancement of Science）會士。
現階段研究重點是運用各種媒材，向各類型的聽眾教授和傳播數學，同時致力於設計情報分析的資訊及推論系統。研究興趣還包括訊息理論、推理模式、數學技巧在傳播研究上的應用，以及數學認知等。2003年，以「在數學領域以及數學與邏輯學、語言學間關係的創新研究和長期耕耘」，獲得加州眾議院表揚。主持美國國家公共廣播電台《數學小子》（Math Guy）節目。著有《數學的語言》（The Language of Mathematics）等書。

相關著作：《這個問題，你用數學方式想過嗎？：史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課，大師教你像數學家一樣思考，讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力》

  譯者  
譯者：洪萬生
美國紐約市立大學（CUNY）博士，主修數學史、科學史，輔修數學哲學、科學哲學。曾任職臺灣師範大學數學系，講授數學（社會）史、數學哲學與HPM（數學史與數學教育之關連）專題，並主持「台灣數學博物館」（http://science.math.ntnu.edu.tw/museum）網站，透過網路結合科普同好，分享國內外數學普及活動的學術與教育資源，對於推廣數學普及讀物的書寫、出版及閱讀不遺餘力。

譯者：黃俊瑋
國立臺灣師範大學數學系博士候選人，主修數學史。譯有《數學偵探物語》、《掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π》等書，並與洪萬生教授等人合著《摺摺稱奇：初登大雅之堂的摺紙數學》。期望透過數學普及閱讀與數學教育之結合，以更加豐富、多元而開放的面向，增進學生的數學思維與數學素養。

譯者：蘇惠玉
高雄人，國立臺灣師範大學數學系碩士，現任台北市立西松高中數學教師，並擔任《HPM通訊》主編。

譯者：陳彥宏
國立臺灣師範大學數學系碩士，現任台北市成功高中數學教師。

譯者：葉吉海
國立臺灣師範大學數學系碩士，現任桃園國立陽明高中數學科教師，喜歡在課堂上將數學有趣的面向與教材結合，讓學生更喜愛高中數學。


  目錄  

導讀 洪萬生
序言

導論：本書之為用

1. 數學是什麼？
1.1 遠超過算術
1.2 數學的符號
1.3 現代大學程度的數學
1.4 為什麼你必須學習這些東西？

2 將語言精確化
2.1 數學述句
2.2 邏輯連詞：且、或以及非
2.3 蘊涵
2.4 量詞

3 證明
3.1 何謂證明？
3.2 反證法
3.3 證明條件句
3.4 證明量化命題
3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
4.1 整數
4.2 實數
4.3 完備性
4.4 數列

附錄：集合論

索引