臉譜出版部落格

◎語言精確化

美國黑色素瘤基金會（American Melanoma Foundation）在2009年資料簡報中寫道：

幾乎每一小時內，某個美國人死於黑色素瘤。
（One American dies of melanoma almost every hour.）

對一個數學家而言，這類聲稱必然會令人感到啼笑皆非，有時也會感到無奈。這並不是因為數學家對於生命悲劇地消逝缺乏同情心，而是假使你逐字地檢視該句子，它完全沒有表達出美國黑色素瘤基金會所要傳達的訊息。該句子真正說的是，幾乎每小時，存在一個美國人（某人X），很不幸地死於黑色素瘤――但也沒有提到這個人具有不斷復活的驚人能力。而美國黑色素瘤基金會的這位撰文者應該寫的是：

幾乎每一小時內，就有一位美國人死於黑色素瘤。
（Almost every hour, an American dies of melanoma.）

這類語言上的誤用時常可見，多到讓人習以為常，而無法發現這些語言上的謬誤。相信每一個閱讀了上述第一個句子的人，大多能捕捉到第二個句子所要傳達的意思。而這類句子往往也成為演說場合中的一環。除了數學家，以及其他一些在其專業領域中需要精確地使用語言的人之外，一般人即使仔細地逐字檢視，也很難注意到第一個句子當中所傳達的荒謬聲稱。

當作者與演講者在日常生活的脈絡中，使用語言談論每天的事件時，他們的讀者與聽眾，幾乎都掌握了關於這個世界的相同知識（特別是關於所寫的文字與所說的話），而這些共同的知識決定了所接收訊息的意義。但是，當數學家（與科學家）在他們的工作場合中使用語言時，通常極其有限地，甚至完全無法存在相同的背景知識可共享（每個人都從事於與發現有關的研究歷程之中）。

再者，數學上，對於精確性的需求更顯重要，於是乎，當數學家在研究過程中使用語言時，他們依賴著字面上的意思，而這指的當然是，他們必須確實掌握他們所寫與所說文句的意義。

顯而易見地，在我們證明一個敘述是否為真之前，我們必須先精確地理解該敘述的意思為何。數學是非常強調精確的學科，精確地表達更是不可或缺，然而這一切並非易事，因為文字總是充滿含糊不清，同時生活中的語言亦罕見精確。

特別地，當我們日復一日地使用語言時，我們經常依賴著脈絡來決定文字所傳達之意。美國人可以深信不疑地說道：「7月是夏天的月分」，但這如果是出自於澳洲人之口將會是錯的。「夏天」這個詞在兩人的敘述句之中，意思相同（意指一年之中最熱的三個月分），但是它在美國指的是一年之中的某些時段，在澳洲指的卻是不同的時段。

我們再來看看另一個例子，在「小老鼠」與「小象」這兩個詞裡面的「小」字指的其實是不同的事。大部分的人會同意小老鼠是一隻小動物，但並不認為小象是一隻小動物。「小」這個字的意涵，必須取決於它所指涉的實體。

在我們每天的生活中，我們往往利用情境中的資訊，以及自己對於周遭世界和生活經驗的了解，填補了語言或文字中的遺漏訊息，並且忽略了導因於含糊不清而得到的種種錯誤詮釋。

舉例來說，我們必須對於情境有所了解，才能正確理解如下敘述：

The man saw the woman with a telescope.

到底是誰拿著望遠鏡，是男人或者女人呢？〔譯按：從字面上的解讀來看，此句話可有兩種解讀方式：1.男人拿著望遠鏡看女人。2.男人看見那個拿著望遠鏡的女人〕
報紙上模稜兩可的標題――通常標題都是趕忙間所下的――往往會導致讓人意想不到，卻又使人啼笑皆非的第二種解讀方式。在這一年裡所出現的許多例子當中，我最喜歡的有：

․經過十年後，姐妹們在Safeway的收銀台重逢。
（Sisters reunited after ten years in checkout line at Safeway.）
〔譯按：本句當中的Safeway是一家連鎖店的名字，此一英文單字也是某種保險套的品名〕

․娼妓求助於教皇。
（Prostitutes appeal to the Pope.）
〔譯按：本句當中的appeal有「迎合愛好、富吸引力」的意思，故就英文來看，本句也可翻成：「娼妓迎合教皇的心意」〕

․商業街上出現大洞，市政當局深入勘查。
（Large hole appears in High Street. City authorities are looking into it.）

․市長呼籲巴士乘客應該繫上安全帶。
（Mayor says bus passengers should be belted.）
〔譯按：本句當中的belted也有「用皮帶抽打或狠揍」的意思，故就英文來看，本句也可翻成：「市長呼籲巴士乘客應該被用皮帶抽打」或「市長呼籲巴士乘客應該被狠揍」〕

想要系統性地使得英文更精確（藉由精確地定義每個字的意思），是一項不可能的任務。並且由於人們通常在依賴了脈絡與背景相關的知識後，便可以有效溝通，也使得上述工作顯得沒有必要。

但是，在數學上，一切變得完全不同。為了消弭語言的模稜兩可，精確性是重要的，同時，我們也不能假設所有數學實作者都具備相同的脈絡與背景知識。再者，因為在科學與工程學的領域裡，慣常地使用數學的研究成果，因此，使用了模稜兩可的語言造成溝通上的困難，其代價可能相當高，甚至有時是事關人命。

《這個問題，你用數學方式想過嗎？》史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課，大師教你像數學家一樣思考，讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力 

 

 出版時間︰2018.10.30

作者︰齊斯‧德福林Keith Devlin
定 價︰300元

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――――超過50,000人都在學，最容易上手的數學思維學習書――――
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空白頁上寫著「此頁留白」，那一頁到底是不是空白的？
所有的鳥類都會飛，所有的美洲豹都有斑紋……請證明給我看！
有些大象不喜歡鬆餅……每個人都愛著某個人……
(大象會爬樹) ⇒ ( 3是無理數)
(歐幾里得的生日是7月4日) ⇒ (長方形有四個邊)
(凱撒死了) ⇒ (π > 3)
若蘋果紅了，則它可以吃了
看起來理所當然的事，真的如此確定無誤嗎？

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數學不是只有＋－×÷、函數、微積分，但是，用數學來思考可以幫我們做什麼？
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►讓我們以數學的嚴謹來識別和描述問題
►讓我們用數學的精確來分析和解答問題

▍誰需要學習數學思考？ 

讓思考從混亂、令人沮喪、有時看起來不可能，到具有決定性的解析思維能力！
►希望提升分析思考技巧和擁有創新思維的人
►高中生、大學生，打算主修數學比重高的科目的學生
►無法藉由尋找樣板來依循、無法找公式來代換數值或套程序來應用的人

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▍先理解問題的意義，再依序解決問題 

數學家說，在他還沒有證明，或是尚未看到具有說服力的證明之前，他都無法肯定一個直覺看來正確的數學命題為真。
「做數學」常涉及套用步驟和進行繁複的符號運算；「數學思維」則是一種思考事物的明確方法，且思考對象不限於數學。
如果你無法藉由尋找一個樣板來依循、一個公式來代換數值進去，或者一個程序來應用，那麼，你該怎麼辦？
答案是：思考這個問題！

本書作者齊斯‧德福林是史丹佛大學著名數學家、暢銷科普作家，致力於對大眾教授和傳播數學。他在知名線上開放課程平台Coursera所開辦的「數學思維入門」課程，吸引了全球超過50,000人爭相註冊，本書即是針對協助培養「以數學方式思考」的能力所寫的專書。

本書的目標是協助發展數學思維的方法，而不是學習記誦一堆千篇一律的規則，窒礙了你的思考！
無論是希望提升分析思考技巧的讀者，或者剛由高中進入大學而打算主修數學比重很高科目的學生，都能從書中學習到如何研究一個新問題，換個方式思考直覺看來正確的事物。
讓看不見的得以被看見，讓不可解的問題得以被解決，讓我們學習像數學家一樣思考！

  作者：齊斯‧德福林Keith Devlin  
史丹佛大學數學家及該校人文科學與先端科技研究中心（H-STAR）共同創辦人和執行長，也是該校Media X研究計畫創立人之一，以及該校語言資訊研究中心（CSLI）資深研究員，世界經濟論壇院士及美國科學促進協會（American Association for the Advancement of Science）會士。
現階段研究重點是運用各種媒材，向各類型的聽眾教授和傳播數學，同時致力於設計情報分析的資訊及推論系統。研究興趣還包括訊息理論、推理模式、數學技巧在傳播研究上的應用，以及數學認知等。2003年，以「在數學領域以及數學與邏輯學、語言學間關係的創新研究和長期耕耘」，獲得加州眾議院表揚。主持美國國家公共廣播電台《數學小子》（Math Guy）節目。著有《數學的語言》（The Language of Mathematics）等書。

相關著作：《這個問題，你用數學方式想過嗎？：史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課，大師教你像數學家一樣思考，讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力》

  譯者  
譯者：洪萬生
美國紐約市立大學（CUNY）博士，主修數學史、科學史，輔修數學哲學、科學哲學。曾任職臺灣師範大學數學系，講授數學（社會）史、數學哲學與HPM（數學史與數學教育之關連）專題，並主持「台灣數學博物館」（http://science.math.ntnu.edu.tw/museum）網站，透過網路結合科普同好，分享國內外數學普及活動的學術與教育資源，對於推廣數學普及讀物的書寫、出版及閱讀不遺餘力。

譯者：黃俊瑋
國立臺灣師範大學數學系博士候選人，主修數學史。譯有《數學偵探物語》、《掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π》等書，並與洪萬生教授等人合著《摺摺稱奇：初登大雅之堂的摺紙數學》。期望透過數學普及閱讀與數學教育之結合，以更加豐富、多元而開放的面向，增進學生的數學思維與數學素養。

譯者：蘇惠玉
高雄人，國立臺灣師範大學數學系碩士，現任台北市立西松高中數學教師，並擔任《HPM通訊》主編。

譯者：陳彥宏
國立臺灣師範大學數學系碩士，現任台北市成功高中數學教師。

譯者：葉吉海
國立臺灣師範大學數學系碩士，現任桃園國立陽明高中數學科教師，喜歡在課堂上將數學有趣的面向與教材結合，讓學生更喜愛高中數學。


  目錄  

導讀 洪萬生
序言

導論：本書之為用

1. 數學是什麼？
1.1 遠超過算術
1.2 數學的符號
1.3 現代大學程度的數學
1.4 為什麼你必須學習這些東西？

2 將語言精確化
2.1 數學述句
2.2 邏輯連詞：且、或以及非
2.3 蘊涵
2.4 量詞

3 證明
3.1 何謂證明？
3.2 反證法
3.3 證明條件句
3.4 證明量化命題
3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
4.1 整數
4.2 實數
4.3 完備性
4.4 數列

附錄：集合論

索引