◎語言精確化

 

美國黑色素瘤基金會(American Melanoma Foundation)在2009年資料簡報中寫道:

 

幾乎每一小時內,某個美國人死於黑色素瘤。
(One American dies of melanoma almost every hour.)

 

對一個數學家而言,這類聲稱必然會令人感到啼笑皆非,有時也會感到無奈。這並不是因為數學家對於生命悲劇地消逝缺乏同情心,而是假使你逐字地檢視該句子,它完全沒有表達出美國黑色素瘤基金會所要傳達的訊息。該句子真正說的是,幾乎每小時,存在一個美國人(某人X),很不幸地死於黑色素瘤――但也沒有提到這個人具有不斷復活的驚人能力。而美國黑色素瘤基金會的這位撰文者應該寫的是:

 

幾乎每一小時內,就有一位美國人死於黑色素瘤。
(Almost every hour, an American dies of melanoma.)

 

這類語言上的誤用時常可見,多到讓人習以為常,而無法發現這些語言上的謬誤。相信每一個閱讀了上述第一個句子的人,大多能捕捉到第二個句子所要傳達的意思。而這類句子往往也成為演說場合中的一環。除了數學家,以及其他一些在其專業領域中需要精確地使用語言的人之外,一般人即使仔細地逐字檢視,也很難注意到第一個句子當中所傳達的荒謬聲稱。

當作者與演講者在日常生活的脈絡中,使用語言談論每天的事件時,他們的讀者與聽眾,幾乎都掌握了關於這個世界的相同知識(特別是關於所寫的文字與所說的話),而這些共同的知識決定了所接收訊息的意義。但是,當數學家(與科學家)在他們的工作場合中使用語言時,通常極其有限地,甚至完全無法存在相同的背景知識可共享(每個人都從事於與發現有關的研究歷程之中)。

再者,數學上,對於精確性的需求更顯重要,於是乎,當數學家在研究過程中使用語言時,他們依賴著字面上的意思,而這指的當然是,他們必須確實掌握他們所寫與所說文句的意義。

 

顯而易見地,在我們證明一個敘述是否為真之前,我們必須先精確地理解該敘述的意思為何。數學是非常強調精確的學科,精確地表達更是不可或缺,然而這一切並非易事,因為文字總是充滿含糊不清,同時生活中的語言亦罕見精確。

 

特別地,當我們日復一日地使用語言時,我們經常依賴著脈絡來決定文字所傳達之意。美國人可以深信不疑地說道:「7月是夏天的月分」,但這如果是出自於澳洲人之口將會是錯的。「夏天」這個詞在兩人的敘述句之中,意思相同(意指一年之中最熱的三個月分),但是它在美國指的是一年之中的某些時段,在澳洲指的卻是不同的時段。

 

我們再來看看另一個例子,在「小老鼠」與「小象」這兩個詞裡面的「小」字指的其實是不同的事。大部分的人會同意小老鼠是一隻小動物,但並不認為小象是一隻小動物。「小」這個字的意涵,必須取決於它所指涉的實體。

 

在我們每天的生活中,我們往往利用情境中的資訊,以及自己對於周遭世界和生活經驗的了解,填補了語言或文字中的遺漏訊息,並且忽略了導因於含糊不清而得到的種種錯誤詮釋。

 

舉例來說,我們必須對於情境有所了解,才能正確理解如下敘述:

 

The man saw the woman with a telescope.

 

到底是誰拿著望遠鏡,是男人或者女人呢?〔譯按:從字面上的解讀來看,此句話可有兩種解讀方式:1.男人拿著望遠鏡看女人。2.男人看見那個拿著望遠鏡的女人〕
報紙上模稜兩可的標題――通常標題都是趕忙間所下的――往往會導致讓人意想不到,卻又使人啼笑皆非的第二種解讀方式。在這一年裡所出現的許多例子當中,我最喜歡的有:

 

․經過十年後,姐妹們在Safeway的收銀台重逢。
(Sisters reunited after ten years in checkout line at Safeway.)
〔譯按:本句當中的Safeway是一家連鎖店的名字,此一英文單字也是某種保險套的品名〕

․娼妓求助於教皇。
(Prostitutes appeal to the Pope.)
〔譯按:本句當中的appeal有「迎合愛好、富吸引力」的意思,故就英文來看,本句也可翻成:「娼妓迎合教皇的心意」〕

․商業街上出現大洞,市政當局深入勘查。
(Large hole appears in High Street. City authorities are looking into it.)

․市長呼籲巴士乘客應該繫上安全帶。
(Mayor says bus passengers should be belted.)
〔譯按:本句當中的belted也有「用皮帶抽打或狠揍」的意思,故就英文來看,本句也可翻成:「市長呼籲巴士乘客應該被用皮帶抽打」或「市長呼籲巴士乘客應該被狠揍」〕

 

想要系統性地使得英文更精確(藉由精確地定義每個字的意思),是一項不可能的任務。並且由於人們通常在依賴了脈絡與背景相關的知識後,便可以有效溝通,也使得上述工作顯得沒有必要。

 

但是,在數學上,一切變得完全不同。為了消弭語言的模稜兩可,精確性是重要的,同時,我們也不能假設所有數學實作者都具備相同的脈絡與背景知識。再者,因為在科學與工程學的領域裡,慣常地使用數學的研究成果,因此,使用了模稜兩可的語言造成溝通上的困難,其代價可能相當高,甚至有時是事關人命。

 






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▍先理解問題的意義,再依序解決問題 

數學家說,在他還沒有證明,或是尚未看到具有說服力的證明之前,他都無法肯定一個直覺看來正確的數學命題為真。
「做數學」常涉及套用步驟和進行繁複的符號運算;「數學思維」則是一種思考事物的明確方法,且思考對象不限於數學。
如果你無法藉由尋找一個樣板來依循、一個公式來代換數值進去,或者一個程序來應用,那麼,你該怎麼辦?
答案是:思考這個問題!

 

本書作者齊斯‧德福林是史丹佛大學著名數學家、暢銷科普作家,致力於對大眾教授和傳播數學。他在知名線上開放課程平台Coursera所開辦的「數學思維入門」課程,吸引了全球超過50,000人爭相註冊,本書即是針對協助培養「以數學方式思考」的能力所寫的專書。

 

本書的目標是協助發展數學思維的方法,而不是學習記誦一堆千篇一律的規則,窒礙了你的思考!
無論是希望提升分析思考技巧的讀者,或者剛由高中進入大學而打算主修數學比重很高科目的學生,都能從書中學習到如何研究一個新問題,換個方式思考直覺看來正確的事物。
讓看不見的得以被看見,讓不可解的問題得以被解決,讓我們學習像數學家一樣思考!


  作者:齊斯‧德福林Keith Devlin  
史丹佛大學數學家及該校人文科學與先端科技研究中心(H-STAR)共同創辦人和執行長,也是該校Media X研究計畫創立人之一,以及該校語言資訊研究中心(CSLI)資深研究員,世界經濟論壇院士及美國科學促進協會(American Association for the Advancement of Science)會士。
現階段研究重點是運用各種媒材,向各類型的聽眾教授和傳播數學,同時致力於設計情報分析的資訊及推論系統。研究興趣還包括訊息理論、推理模式、數學技巧在傳播研究上的應用,以及數學認知等。2003年,以「在數學領域以及數學與邏輯學、語言學間關係的創新研究和長期耕耘」,獲得加州眾議院表揚。主持美國國家公共廣播電台《數學小子》(Math Guy)節目。著有《數學的語言》(The Language of Mathematics)等書。

相關著作:《這個問題,你用數學方式想過嗎?:史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課,大師教你像數學家一樣思考,讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力》

 

  譯者  
譯者:洪萬生
美國紐約市立大學(CUNY)博士,主修數學史、科學史,輔修數學哲學、科學哲學。曾任職臺灣師範大學數學系,講授數學(社會)史、數學哲學與HPM(數學史與數學教育之關連)專題,並主持「台灣數學博物館」(http://science.math.ntnu.edu.tw/museum)網站,透過網路結合科普同好,分享國內外數學普及活動的學術與教育資源,對於推廣數學普及讀物的書寫、出版及閱讀不遺餘力。

譯者:黃俊瑋
國立臺灣師範大學數學系博士候選人,主修數學史。譯有《數學偵探物語》、《掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π》等書,並與洪萬生教授等人合著《摺摺稱奇:初登大雅之堂的摺紙數學》。期望透過數學普及閱讀與數學教育之結合,以更加豐富、多元而開放的面向,增進學生的數學思維與數學素養。

譯者:蘇惠玉
高雄人,國立臺灣師範大學數學系碩士,現任台北市立西松高中數學教師,並擔任《HPM通訊》主編。

譯者:陳彥宏
國立臺灣師範大學數學系碩士,現任台北市成功高中數學教師。

譯者:葉吉海
國立臺灣師範大學數學系碩士,現任桃園國立陽明高中數學科教師,喜歡在課堂上將數學有趣的面向與教材結合,讓學生更喜愛高中數學。


  目錄  

導讀 洪萬生
序言

導論:本書之為用

1. 數學是什麼?
1.1 遠超過算術
1.2 數學的符號
1.3 現代大學程度的數學
1.4 為什麼你必須學習這些東西?

2 將語言精確化
2.1 數學述句
2.2 邏輯連詞:且、或以及非
2.3 蘊涵
2.4 量詞

3 證明
3.1 何謂證明?
3.2 反證法
3.3 證明條件句
3.4 證明量化命題
3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
4.1 整數
4.2 實數
4.3 完備性
4.4 數列

附錄:集合論

索引



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