過去十年我們看到許多技術出現，讓研究人員有新的機會探 索心智與大腦的運作。現在科學家可以在兒童和成年人做數學的 時候進行研究，監測腦部的活動；他們可以觀察大腦的發育和退 化，以及看到不同的情緒及狀況對大腦活動的影響。近年來出現 了一個涉及「大腦可塑性」的領域，讓科學家很驚訝。過去我們 認為，與生俱來的大腦是無法改變的，不過這個看法現在已經徹 底證明是錯的。一項又一項的研究已經顯示，大腦有不可思議的 能力，能夠在極短的時間裡發展與轉變（Abiola & Dhindsa, 2011; Maguire, Woollett, & Spiers, 2006; Woollett & Maguire, 2011）。 當我們學習新的概念時，腦中會放出一道電流，跨越許多突觸，連結大腦的不同區域（見圖 1.1）。 如果你把某個概念學習得很深入，突觸的活動就會在你的腦內建立起永久的連結，形成結構性的途徑，但倘若你只接觸這個 概念一次或是只有粗淺的了解，這些突觸連結就可能會像沙地上 的足跡般被「沖刷掉」。學習時，突觸會受到激發，不過學習並 非只發生在課堂上或閱讀書本的時候；當我們交談、玩遊戲或玩 具，以及在許許多多的經驗中，突觸都會受到激發。
針對倫敦黑色計程車司機腦部發展研究的發現，讓科學家對 能力和學習改觀。我是英國人，在倫敦搭過很多次計程車，還記 得小時候興奮地跟家人坐幾小時的車到倫敦一日遊，這些都是美 好的回憶。成年之後，我在倫敦大學國王學院讀書、工作，於是 有更多機會搭計程車在倫敦到處跑。倫敦地區有幾種計程車在營運，但在倫敦最常見的就是黑色計程 車（稱為 Black Taxi 或 Black Cab， 見圖 1.2）。
我在倫敦搭黑色計程車穿街走 巷的大部分歲月裡，我並不曉得那些 司機多麼駕輕就熟。原來，要在倫敦 開黑色計程車，申請人必須先受訓二 到四 年，記住查令十字 街（Charing Cross）方圓二十五英里內的兩萬五千 條街道和兩萬個地標。在倫敦市要學 會認路，比起大部分的美國城市更具 挑戰性，因為倫敦的格局不是棋盤式 的，而是成千上萬交織、相互連通的 街道（見圖 1.3）。
受訓結束時，這些黑色計程車司機需要接受檢定，這項檢定就簡單又直接地 稱為「知識大全」（The Knowledge）。如果你坐在倫敦黑色計程車上，跟司機 問起「知識大全」，他們通常會很樂意告訴你這個檢定多麼難考，並跟你分享他 們受訓期間的故事。「知識大全」是全世界公認要求最嚴格的課程之一，申請人 平均要考十二次才有辦法通過檢定。
在二十一世紀初，科學家決定研究倫敦黑色計程車司機，想找尋多年下來 複雜空間訓練對這些司機腦部造成的改變，但那些科學家沒料到結果竟然這麼驚 人。研究人員發現，計程車司機腦部的海馬迴在受訓結束時明顯增大（Maguire et al., 2006; Woollett & Maguire, 2011）；而海馬迴（hippocampus）是腦中負 責取得並使用空間資訊的區域（見圖 1.4）。
科學家也做了其他的研究，把黑色計程車司機的腦部生長和倫敦公車司機的 腦部生長進行一番比較。比起計程車司機，公車司機只要熟記單一的路線，這些 研究結果也顯示，他們的海馬迴沒有類似的增長（Maguire et al., 2006）。這就 證實了科學家所做的結論：黑色計程車司機的腦部有驚人增長，是因為他們接受格外複雜的訓練。科學家在進一步的研究中更發現，黑色計程車司機退休後，他們的海馬迴又會縮小下來（Woollett & Maguire, 2011）。
現在已經有很多針對黑色計程車司機所做的研究（Maguire et al., 2006; Woollett & Maguire, 2011），都顯示出大腦有一定程度的適應性或可塑性，這讓 科學家很吃驚。他們先前並沒想過居然會測出這麼大幅度的腦部生長，這也使得 科學界對於「學習」、「能力」以及「大腦是否有可能改變與成長」的想法有所轉變。
就在黑色計程車司機研究出現的同時發生了另一件驚動科學界的大事。九歲 女孩卡麥蓉 ˙ 莫特（Cameron Mott）患有嚴重的癲癇，很多醫生都束手無策。 她的內科醫生喬治 ˙ 傑羅醫師（Dr. George Jello），提議採取根本而又極端的 療法：切除她的左半腦。這是項革命性的手術─幸好最後也成功了。卡麥蓉在 手術後幾天癱瘓，醫生們都推測她會有幾年的時間處於肢體障礙，因為左半腦掌 管的是肢體動作，但幾個月之後，她的肢體及動作的恢復狀況讓醫生目瞪口呆， 而這只說明了一件事─她的右半腦發展出執行左半腦功能所需的連結。這些醫 生都認為這是大腦不可思議的可塑性所致，他們只能推斷，卡麥蓉的腦實際上 是「重新長出來的」。新腦生長得比醫生們想像的還要快，雖然失去大半個腦讓 她的腳有點跛，但卡麥蓉現在可以跟其他孩子一起奔跑玩耍了。（https://www.today.com/health/meet-girl-half-brain-1C9402834）。
關於腦可以增長、適應、變化的一些新發現，讓科學界大為震驚，也促使科 學家紛紛利用不斷發展出來的新技術與腦部掃描設備，重新研究人腦與學習。其 中有一項研究，我認為對我們教育工作者而言非常重要。進行這項研究的是美國 國家心理衛生研究院（NIMH）的研究人員，他們讓受試者每天進行十分鐘的訓 練，持續三週，然後把受試者的大腦和對照組進行比較。結果顯示，每天訓練幾 分鐘的人的大腦發生了結構性的變化。總共十五個工作天、每天進行十分鐘的心 智任務，這些參與者的大腦呈現出「重新布線」（rewired）和增長的反應（Karni et al., 1998）。這樣的結果或許能促使教育工作者揚棄那些仍然充斥在校園裡，既傳統又根深柢固的想法：認為孩子不是聰明就是笨；不是學得快就是學得慢。 如果大腦能夠在三個星期就產生改變，而且給學生適當的數學材料，讓他們接收 到對自己潛能的肯定，那麼上了一年的數學課會發生什麼變化也就可想而知了。 在第 5 章將會解釋哪種本質的數學課堂活動最能幫助學生感受到這樣的改變。
來自大腦研究的新證據告訴我們，只要教學和傳遞的訊息是恰當的，人人都 能學好數學，都能在學校獲得最好的成績。雖然有一些孩子情況特別，有特殊的 教育需求，會增加數學學習的難度，但對於絕大多數（大約 95％）的孩童來說， 任何程度的學校數學都在能力範圍內。不僅如此，在有特殊需求的孩子身上，大 腦增長變化的潛力也同樣強大，家長和老師都必須先認知這個重點。我在工作坊 和演講時跟老師們分享這個證據時，大部分的人都得到激勵，但並非所有人都受 到感召。最近和一群老師分享的時候，就有一位國中數學老師顯然對這個理念感 到不安，他說：「妳該不會是要告訴我，我們學校裡隨便一個六年級學生都可以 念高三的微積分？」而當我回應「那正是我的意思」時，我看得出來他真的對這 個想法感到不安─雖說他沒有當場反駁，這點值得讚許。有些老師會很難接受 任何人都能學習高等數學，尤其是在他們已經花很多年判定誰能學好、誰無法學 好數學，並且因材施教的情況下。當然，六年級生打從出生起就得到許多經驗和 訊息，這些經驗和訊息已經阻礙了一些學生的發展，有的學生在升上六年級時具 備的數學知識，可能明顯落後其他人，不過這並不表示他們無法急起直追到最高 的程度─假如他們接受到所有的孩子該有的優良教學與幫助，他們就辦得到。 經常有人問我，我是否認為每個人的腦袋生來都是一樣的。並不是。我的意 思是，孩子一生經歷的大腦增長經驗，遠比任何先天的大腦差異來得重要。一般 人都認定，我們生來的模樣決定了我們的潛能；他們會舉公認為天才的名人當作 例子，譬如愛因斯坦或貝多芬。然而現在科學家知道，我們出生後的學習經歷會 蓋過出生時存在於大腦的任何差異（Wexler in Thompson, 2014）。大腦中的突 觸每分每秒都在受激發，而在成長型思維、有啟發性的環境中培養出來的學生， 什麼事都難不倒他們。大腦的差異雖然會讓一些人在起步時有優勢，但具備這種先機並且因而獲得長期優勢的，只是極少數人。此外，被稱為天才的那些人，往 往會強調自己付出多少努力和犯了多少錯誤。大家公認的天才當中，最出名的大 概就是愛因斯坦，他到九歲時才會識字，而且經常講自己的成就來自所犯過的錯 誤以及所展現的堅持。他會盡力嘗試，出錯了就更加努力，他以成長型思維者的 態度思考研究工作與人生。許多科學證據顯示，成功者與不成功者的差異不在於 與生俱來的大腦，而在於他們看待人生的態度、接收到與自己潛能有關的訊息， 以及擁有的學習機會。當學生對自己有信心，最好的學習機會就會出現。太多學 生因為在學校裡得到否定訊息而阻礙學習，這些訊息讓他們以為自己不如人，沒 有別人具備的潛力。這本書就是要提供各位需要的資訊，不管你是老師還是家長， 目的就是要給學生需要且應該要有的自信；要把他們放在一條通向數學思維的學 習軌跡上，不論先前的經驗是好是壞。正如後面各章會描述的，這條新的軌跡是 要讓學生改變看待自己的方式，也要改變他們思考數學這門科目的方式。
雖然我的意思不是每個人的腦袋生來都一樣，但我還是要說，並沒有所謂的「數學頭腦」或「數學天分」。沒有誰生來就懂數學，也沒有哪個人天生欠缺學 習數學的能力。很不幸的是，相信資賦優異的這個信念十分普遍。近來有些研究 人員想知道大學教授對於各自的領域是否需要資賦的相信程度（Leslie, Cimpian, Meyer, & Freeland, 2015），結果他們驚人地發現：數學界的教授對於誰能念數 學，最固執己見；他們還發現，在越重視資質的學術領域，擁有博士頭銜的女性 就越少，而且對領域專業能力的信念，與他們調查的三十個學術領域的女性人數， 兩者是相關的。在教授相信只有「資優者」才能有所成就的那些領域，女性人數 之所以比較少，是因為對於誰真正適合的刻板信念仍舊普遍存在，就如第6章所 描述的。我們必須改變對於數學學習的見解，在跟學生交談與互動的過程中採取 更公正開明的觀點，這對我們的社會勢必會有幫助。我們的交談與工作能力需求 反映出大腦的新科學研究。向所有人傳達人人都能學好數學，而不是只有那些「有 天賦」的人，這可能會是開啟不同前途的關鍵─未來，數學創傷將成往事，各 種出身背景的學生都能獲得良好的數學學習機會。
在卡蘿˙杜維克和她的同事所做的研究中，約有 40 ％的孩子抱持負面的 僵固型思維，認為智能是一種天賦，有的人有，有的人沒有。另外也有 40％的 孩子持成長型思維，而其餘的 20 ％則在兩種思維模式之間搖擺不定（Dweck,2006b）。持僵固型思維的學生比較可能輕言放棄，而持成長型思維的學生即使 遇到難題也會繼續努力，堅持不懈，展現出心理學家安琪拉˙達克沃斯（Angela Duckworth）所稱的「恆毅力」（grit）（Duckworth & Quinn, 2009）。在一項 研究中，研究人員針對國中一年級學生做了一份調查，想要評量他們的思維模式， 接著追蹤這些學生兩年，密切觀察他們的數學成績。研究結果很出人意料：持僵 固型思維的學生成績保持不變，持成長型思維的學生成績卻不斷提高（Blackwell et al., 2007）（見圖 1.5）。
在其他的研究中，研究人員證實學生及成年人的思維模式可以從僵固型思維 轉變為成長型思維，而且他們的學習方式會隨著思維模式的轉換明顯變得更積極 成功（Blackwell et al., 2007）。我們還有新的證據，我會在第2章再回頭談， 顯示那些持成長型思維的學生在出錯的時候，會有比較活躍的大腦活動，發亮的 腦區較多，而且比較注意錯誤的處理與修正（Moser, Schroder, Heeter, Moran, & Lee, 2011）。
我並不需要更多的證據，來說明幫助學生及成年人發展成長型思維有多麼重 要，特別是數學的成長型思維。不過由於我最近和國際學生能力評量計畫（PISA） 團隊同坐在巴黎的經濟合作暨發展組織（OECD）總部，跟他們一起深入研究來 自世界各地一千三百萬個學生的資料集。PISA 團隊每四年舉辦一次跨國測驗， 全球的新聞媒體都會報導評量結果。測驗成績往往會在美國各地開始引起警覺， 因為最近幾次測驗中，美國學生的數學表現在六十五個 OECD 國家當中排名第 三十六（PISA, 2012）─這個結果就跟其他很多結果一樣，說明美國迫切需要 改革數學教學與學習。然而 PISA 團隊所做的不只是執行數學測驗，他們還進行 調查，蒐集學生對數學的看法和信念，以及他們的思維模式。在我受邀跟 PISA 團隊合作之前，幾位小組成員參加過我去年夏天開設的線上課程，帕布羅˙佐依多（Pablo Zoido）是其中一位，他是個講話輕聲細語的西班牙人，對數學學 習有一些獨到的見解，而且在處理龐大資料有相當豐富的專業知識。帕布羅是 PISA 的分析師，在我跟他一起深入研究數據的過程中，看到了很讓人驚訝的事 情─全世界表現最好的學生，是那些具有成長型思維的學生，而他們的優異成 績相當於比其他學生多了超過一年的數學程度（見圖 1.6）。
負面的僵固型思維─也就是讓學生相信自己如果不是聰明就是笨的想法， 會使學習成就大幅受到影響，其中深受這些信念所害的學生就是表現優異的女孩 子（Dweck, 2006a）。事後發現，就連相信自己很聰明 ─ 這種僵固型思維的 訊息，也是有害的，因為持這種僵固型思維的學生害怕犯錯，怕大家不再認為自 己聰明，因而比較不願意嘗試更具挑戰性的工作或題目。有成長型思維的學生則 會接受難題，他們也會把失誤視為學習更多的挑戰與動機。以僵固型思維來思考 在女孩子當中是很常有的事，而這也是女生選擇不念理工科系的一大原因，這 不但讓她們的人生機會變少，也會使理工科系缺乏女孩子和女性的思維與觀點（Boaler, 2014a）。導致美國有那麼多學生持僵固型思維的原因之一，是來自家長和老師給予的稱讚。他們一受到既定的褒揚，譬如表現很好時被人誇聰明，一開始可能會覺 得愉悅，但若他們退步或失敗了，就會認為自己根本沒那麼聰明。在最近一項研 究中，研究人員發現從父母在幼兒三歲前給予的讚美，可預測出這些幼童五年後 的思維模式（Gunderson et al., 2013）。學生所受的稱讚可能會帶來非常大的影 響，甚至當下就會影響他們的行為表現。在杜維克做的其中一個研究中，研究人 員要四百個五年級生做個簡單的小測驗，結果幾乎全部的人都表現得很好，隨後 有半數的孩子被誇獎「非常聰明」，另外一半得到的好評是「非常勤奮努力」。 接著，研究人員要他們從兩個測驗當中選一個來做，其中一個非常簡單，他們應 該能順利作答，另一個測驗比較有挑戰性，他們也許會答錯。結果，被誇勤奮的 那些學生有九成選了比較難的測驗，而被誇聰明的學生大部分選擇了簡單的測驗（Mueller & Dweck, 1998）。 讚美讓人愉悅，但如果受到稱讚的是個人特質（例如：「你真是聰明！」）而非所做的事（例如：「這作品太棒了！」），他們會覺得自己擁有固定限度的 能力。要是告訴學生他們很聰明，會為他們日後埋下隱憂。學生勢必在求學階段和人生中會遭遇許多失敗，這時他們會自我評價，判斷自己究竟有多聰明或多笨。 理想的讚美不是誇獎學生的聰明或其他個人特質，而是要說「你弄懂了，真好」、「你想得非常透徹」之類的話。 有個傳統觀念充斥在我們的教育體系中，就是認為有些學生發展得慢，學習不了某些程度的數學。我最近在某所學校遇到的一群高中數學老師，居然上書 學校董事會，辯稱有學生永遠修不過「代數二」。他們特別舉出低收入家庭的少 數族裔學生為例，聲稱除非老師把課程內容簡化，否則這些學生沒辦法學會代 數。我們必須把這種強調能力不足與種族差異的思維趕出校園。那些老師寫的信 刊登在當地的報紙上，最後還被州議會拿來當作例子，證明有必要成立特許學校（charter school）（Noguchi, 2012）。這封信令很多人震驚，但很不幸，許多 人也都認為有些學生學不了高深的數學。強調能力不足的思維可能會以各種形式 出現，有時候還會帶著對學生的真正關心。很多人相信，學生在準備好學習某些 數學之前，必須經歷一個發展階段。然而這些觀念落伍了，因為他們已經做好所 有的準備；要是沒有，他們還是能藉由適當的經驗、他人寄予的厚望和成長型思 維，輕而易舉地做好準備。學生不必按照預定的進度學習數學，也就是說，即使 他們還沒達到某個年齡或情緒成熟度，仍然可以學會數學。學生之所以沒準備好 學習某些數學，可能是因為他們還需要學一些尚未學會的先備基礎，而不是因為 他們的年齡或成熟度不足，導致腦袋沒辦法發展出連結。只要學生需要新的連結， 他們就能學習。
對很多人來說，若要體認到數學思維的重要性，或想要發展出改變學生思 維模式的觀點及策略，就需要仔細想想我們自己的學習經驗以及跟數學之間的關 係。許多和我合作過的小學老師（其中一些人也參加了我的線上課程）告訴我， 我跟他們分享那些關於大腦、潛能、成長型思維的觀念，改變了他們的人生，促 使他們發展出面對數學的成長型思維，讓他們用信心與熱忱看待數學，並把這一 切傳遞到學生身上。這對小學老師來說往往特別重要，因為很多小學老師在他們 自己的學習過程中就曾被告知，他們學不好數學或不是念數學的那塊料，很多人是懷著害怕數學的恐懼感在教數學的。我和他們分享的研究，幫助他們消除這份 恐懼，把他們引導到不一樣的數學旅程上。希恩 ˙ 貝蘿克（Sian Beilock）和她 的同事做了一項重要的研究發現，由小學老師對數學抱持的負面情緒程度，可 預測出教學班級裡的女生而非男生的數學成績（Beilock, Gunderson, Ramirez, & Levine, 2009）。會出現這種性別差異，可能是因為女生對她們的女老師產生認 同，尤其是在小學的時候。女生很快就會注意到老師對於數學的負面訊息，即使 這些訊息經常是出於善意的，像是「我曉得這真的很難，不過我們還是做做看」、「我以前在學校的時候數學很差」或是「我一直不喜歡數學」。這項研究也凸顯 了老師釋放的訊息與學生的成績之間的關係。
無論你在思維模式的旅程上走到哪個位置，不管這些在你看來是不是很新的 觀念，或者你本身就是思維模式專家，我都希望這本書裡分享的資料和觀念，能 幫助你和你任何程度的學生對數學改觀，讓數學變成可親近又充滿樂趣的科目。 接下來的第2到第8章，我會分享我從經年累月的研究與課堂實務經驗匯集而來 的許多策略，在數學課堂上和家裡都可以運用這些策略來激發出成長型思維 也就是讓學生體會到發展出堅毅數學思維模式的策略。
《幫孩子找到自信的成長型數學思維：學好數學不必靠天賦，史丹佛大學實證研究、讓孩子潛力大爆發的關鍵方法》
出版時間︰2019.01.03
作者︰Jo Boaler
定 價︰480元
史丹佛大學數學教育系教授、PISA顧問寫給家長與老師的最佳伴學/教學指南
榮登亞馬遜「數學教學素材類」、「STEM教育類」暢銷雙榜首，讀者評價4.5顆星
學數學需要大膽地胡思亂想，不怕犯錯
拋開高智商偏見，捨棄數學天分迷信
想逆轉痛苦的數學學習經驗，先培養成長型思維！
本書不僅以清晰易懂的方式呈現「成長型思維」的研究結果，更是家長及老師可直接使用的數學教育創新實作手冊！！
擔心孩子沒有數學天分發展會被局限嗎？孩子討厭、害怕數學該怎麼辦？
針對大多數家長及學生的痛苦與盲點，史丹佛數學教育系教授裘．波勒，用神經科學與教學現場的多年經驗告訴你：相信孩子比填鴨教育更有效！
▎成長型思維是什麼？
成長型思維是相信大腦與能力可以藉由學習變強大的信念。研究證實，學習能刺激大腦增長並強化突觸之間的連結。強大的神經網路能讓學習表現提升，啟動成果與動機共同成長的正向循環，促使孩子朝「向上的學習軌跡」發展。
▎如何建立孩子向上的學習軌跡？
◎犯錯時給予鼓勵，甚至「鼓勵犯錯」
我們都該知道犯錯非常珍貴，假設極端一些，當孩子答對所有題目時，你可以說：「唉，真是可惜，因為那表示你沒機會學到東西。」
◎和孩子一起想想：「為什麼是這樣？」、「還有沒有其他方法？」
學習解題時，要常引導孩子在理解數學觀念後思考做法和題目之間的關聯，更必須互動交談，找出更多種解法。例如求解18×5可以怎麼做？為什麼合理？還有沒有另一種作法？
◎教導孩子圖像化地思考數學
引導孩子如同數學家般，不只是做計算，更必須提出好問題，甚至把想法畫下來，因為「畫出數學」遠比呆坐空想或寫出數學算式更能激發想像力。
◎鼓勵孩子運用直覺與想像力
若讓孩子思考如何求出檸檬的體積，他們或許會花費很多時間提出數種錯誤的方法，但真正的數學正是需要如此，因為在未知的數學領域中，無數的嘗試和錯誤是歸納出系統性解法的必經途徑。
◎建立孩子的數感
數感就是可以靈活運用數字的能力，需要對數字有概念，以及對數字與數字之間的關聯有深刻的理解。例如計算19×19，有些孩子傾向直接相乘，但有數感的孩子知道可以先把19都看成20-1，讓原本複雜的二位數乘法也可以輕鬆得出答案，而且不靠死記硬背。
家長及老師的職責是讓孩子有機會見識數學的自由、廣博與美麗，透過成長型的數學思維讓他們自信地在數學世界裡碰撞與成長，並且讓他們相信，只要付出努力，人人都是數學家。
目 錄
推薦序
導讀 錯誤是學習的起點
序
台灣版作者序
前言
第一章 大腦與數學學習
第二章 犯錯與努力的力量
第三章 數學的創造力與美
第四章 培養數學思維：靈活運用數字的重要性
第五章 豐富多變的數學課堂活動
第六章 追尋平等之路
第七章 從分軌教學到成長型思維分組
第八章 評量成長型思維的成效
第九章 促進成長型思維的數學教學
參考資料
附錄一
附錄二
致謝
作 者
Jo Boaler
史丹佛大學數學教育系教授、Youcubed平台共同創辦人、PISA測驗分析師，也是MOOC第一個線上數學教學及學習課程的作者。她曾在英國擔任瑪麗．居禮數學教育講座教授（Marie Curie Professor for Mathematics Education），獲得英國教育研究協會（British Educational Research Association）頒發之最佳博士獎。也曾獲選為英國皇家藝術學會（Royal Society of Arts）會員，並擔任過國際女性及數學教育組織（International Organization for Women and Mathematics Education）主席。波勒是美國國家科學基金會（National Science Foundation）總統獎及美國全國數學督導委員會（NCSM）Kay Gilliland平等獎的獲獎者，發表過九本著作及大量研究論文，並擔任矽谷多家公司的顧問，曾在白宮發表關於女孩讀理工科目的議題。近期成立了www.youcubed.org，提供教師與家長在數學方面激發及勉勵學生所需的資源和理念。
譯 者
畢馨云
國立清華大學數學系畢業之後，在出版社擔任科普書編輯十多年，現在為自由譯者，假日在交響樂團拉大提琴。譯有《這才是數學》、《科學酷媽的育兒大探險》、《原來數學這麼漂亮》、《不敗的數據學》、《萬物視覺化》等；另有譯作刊於《BBC知識》雜誌。
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